アオイ ヒサシ
青井 久
AOI Hisashi
所属 理工学部 数理科学科
職名 准教授
言語種別 日本語
研究概要 フォン・ノイマン環および量子群の作用の解析と,それに付随する力学系の研究

有限次元ベクトル空間上の行列の作用を,無限次元ヒルベルト空間上の有界線形作用素へと拡張することにより,作用素が構成する多様な環構造が考えられる.作用素環論は,こうした構造の解析を目的として始められた.もともとは量子力学から発展したこの理論は,単に線形代数学の延長にあるだけではなく,自由確率論といった統計学とも深い関わり合いを持っており,様々な分野と共に発展を続けている.その中でも,Murray–von Neumann によって研究が始められたフォン・ノイマン環は,代数的性質と位相的性質の両方から特徴づけられる興味深い作用素環として注目されてきた.
フォン・ノイマン環の大きな特色の1 つとして,それがエルゴード理論などの力学系の分野と深く関わっていることがある.その典型例が,(行列環における対角行列にあたる)カルタン部分環と呼ばれる部分環をもつフォン・ノイマン環である.このようなフォン・ノイマン環は,測度空間上の同値関係で特徴付けることができる.
これまでの研究によって,カルタン部分環を含む部分環と部分同値関係との「ガロア対応」が存在すること,それに関連する余作用が同値関係上の1コサイクルによって特徴付けられていること,等が判明した.
現在はこうした相互関係を視野に入れながら,(一般の群作用の拡張である)フォン・ノイマン環上の量子群の作用を研究している.